Armonía del rectángulo áureo
Hay
una cosa que los antiguos griegos, los artistas del Renacimiento, un astrónomo
del siglo 17 y los arquitectos del siglo 21 tienen en común, todos ellos
utilizan la proporción áurea, también conocida como la razón dorada,
proporción divina, o número áureo. Precisamente, este es el número 1.61803399,
representado por la letra griega Phi, y considerado verdaderamente único por
sus propiedades matemáticas, su pre valencia en toda la naturaleza, y su
capacidad para lograr una composición estética perfecta. Los
números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de
especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la
naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede
encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de
las flores y en las hojas de las plantas, en los caparazones de moluscos, en la
forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las
tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de
mentira en tales afirmaciones.
La secuencia de
Fibonacci
Leonardo de
Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo
muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el público en general
por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}.
Esta
secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números (las
"semillas" de la secuencia) y el número siguiente se obtiene como la
suma de los dos números anteriores
Por lo tanto
hay muchas secuencias diferentes que convergen a Φ. Se les llama
"secuencias generalizadas de Fibonacci".
A la
relación Φ=1,6180339887... Se llama "proporción áurea". Los
rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos de
oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos son
la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una
espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se
encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés
popular y mística en este asunto matemático.
Historia
La proporción áurea o número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.
La proporción áurea o número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.
En la
antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos,
tanto en su planta como en sus fachadas. En e Partenón, Fidias también lo
aplicó en la composición de las esculturas (la denominación Fi la efectuó en
1900 el matemático Mark Barr en su honor). Platón (428-347 a. C.),
consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y
la llave a la física del cosmos.
La sección
áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y
la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo.
Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli
en 1509 titulada De Divina Proporcione, quizás la referencia más temprana
en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción".
Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco
sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez
el nombre de sectio áurea.
En 1525,
Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de
figuras planas y sólidas donde describe cómo
Que se
conoce como “espiral de Durero”. Los artistas de Renacimiento utilizaron
la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura y escultura, como en
arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por
ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su
pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la
disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de
las paredes y ventanas al fondo. Leonardo da Vinci, en su cuadro
de La Gioconda, utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de
Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque
el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.
El
astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de
las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina
proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de
Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su
proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo
debemos denominar una joya preciosa”. Hoy en día la sección áurea se puede
ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las
tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné
de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.
En la
arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido
edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma
rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.
Los sinsentidos sobre Fibonacci
Una búsqueda
en internet, o en su biblioteca local lo convencerá de que la serie de
Fibonacci ha atraído a más de un lunático que busca el misticismo en los
números. Se puede encontrar con afirmaciones fantásticas como estas:
Los "rectángulos de oro" son
los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los
artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectangulares
áureos, pero no lo hacían).
Los modelos basados en los números de
Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la
percepción humana.
Mozart utilizó Φ en la
composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números, pero no hay
buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una
composición).
La secuencia de Fibonacci se ve en la
naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el
patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el
número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema
solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la
secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a
sospechar que la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a
casi cualquier cosa!
Los procesos de la naturaleza son
"gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen
que los procesos naturales se "explican" por esta relación.
Por supuesto, gran
parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican"
lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy
potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es
seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el
rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de
una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o
geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más
profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
La
publicidad de la espiral de oro
La
"espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más
de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectiva mente como espirales logarítmicas, y todavía
hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.
Esto revela el simple secreto de los espirales en la
naturaleza. A menudo es el resultado de un crecimiento con restricciones. A medida que el nautilo crece, el extremo abierto de su caparazón
aumenta de diámetro a una velocidad casi constante. Está forzado a curvarse
alrededor del caparazón existente. El resultado es una curva en espiral. Uno
mismo podría hacer algo así. Tome arcilla de modelado y hágala rodar hasta
formar un cono largo y uniformemente. Entonces, comenzando por el extremo
puntiagudo, envuelva el cono alrededor de sí mismo.
Esta proporción, como se dijo, se
encuentra en la naturaleza de manera natural, gracias a esta proporción el
desarrollo de las especies frecuenta, como en las espirales de los girasoles
que van hacia un sentido y las que van hacia otro son números de Fibonacci (por
lo cual la suma de todas las espirales dará el siguiente número de esta
sucesión). Es más interesante saber el porqué de esta no coincidencia, y es
porque de esta manera, se aprovecha al máximo el espacio circular del girasol (cuando
tengas uno a mano comprueba que no hay huecos, cosa que si qué pasaría si la
distribución fuera horizontal).
En las hojas de ciertas plantas,
apreciamos también esto, en una hoja de la planta, el número de hojas que hay
entre una hoja y otra que este justo perpendicularmente encima de la misma,
este número de hojas como el número de vueltas que da al tallo, está en la
sucesión de Fibonacci.
En la antigua
Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su
planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la
composición de las esculturas. ( la
denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).Platón (circa 428 adC - 347 adC), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a
Este número no es usado como tal, se
usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en
la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto más grandes sean lo números más
se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dará
Phi exactamente).
Usos
del número áureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente
atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea
en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo
que podemos denominar rostros áureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las
relaciones entre las medidas de los huesos.
Pero fruto de estés estudios son por cortar solo un ejemplo, la forma de los documentos de identidad o de las tarjetas de crédito que todo el mundo emplea. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
El rectángulo áureo
Veamos esta curiosidad. Trazamos un cuadrado de dos por dos unidades (esto es para facilitar el trazado). Unimos un vértice con el centro del lado (que aquí será de valor uno). Desde ese punto y con la distancia al vértice bajamos el valor y obtenemos un lado ampliado que será la base del rectángulo. Pues la curiosidad es que en ese rectángulo se obtiene los valores del número que tratamos. Observen las figuras inferiores para ver el proceso con mayor claridad.
Pero fruto de estés estudios son por cortar solo un ejemplo, la forma de los documentos de identidad o de las tarjetas de crédito que todo el mundo emplea. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
El rectángulo áureo
Veamos esta curiosidad. Trazamos un cuadrado de dos por dos unidades (esto es para facilitar el trazado). Unimos un vértice con el centro del lado (que aquí será de valor uno). Desde ese punto y con la distancia al vértice bajamos el valor y obtenemos un lado ampliado que será la base del rectángulo. Pues la curiosidad es que en ese rectángulo se obtiene los valores del número que tratamos. Observen las figuras inferiores para ver el proceso con mayor claridad.
El número en la naturaleza
Como ya se dijo, este número es de gran importancia. Vistas algunas curiosidades matemáticas vamos a adentrarnos ahora en la naturaleza y comprobaremos que esta lo usa para casi todo. Por ejemplo:
Como ya se dijo, este número es de gran importancia. Vistas algunas curiosidades matemáticas vamos a adentrarnos ahora en la naturaleza y comprobaremos que esta lo usa para casi todo. Por ejemplo:
La espiral del nautilus con el cual hemos empezado esta entrada es
una espiral logarítmica pero se puede obtener a partir del rectángulo áureo. La
espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento
armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de
moluscos), aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más
visualmente representativo es la concha del nautilos tal y como hemos
comentado.
En las plantas existen muchos casos claramente visibles de lo que estamos diciendo: las relaciones de la disposición de las hojas, los tallos que se enrollan en forma de espiral, el número de pétalos de muchas flores siguen la sucesión de Fibonacci, que recordemos, están íntimamente ligada al número áureo. Como muestra observen la foto inferior de una planta, se aprecia claramente la espiral
En las plantas existen muchos casos claramente visibles de lo que estamos diciendo: las relaciones de la disposición de las hojas, los tallos que se enrollan en forma de espiral, el número de pétalos de muchas flores siguen la sucesión de Fibonacci, que recordemos, están íntimamente ligada al número áureo. Como muestra observen la foto inferior de una planta, se aprecia claramente la espiral
El número en el hombre
Bueno, ya hemos visto que este número aparece en muchos lugares, pero es que nosotros mismos somos un libro abierto donde se muestra este número por todas partes.
La relación entre las falanges de los dedos es el número
áureo
La
relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número
La relación
entre toda la pierna y la altura a la rodilla posee esa relación.
La
relación entre todo el brazo y la distancia al codo posee esta relación
Y
existen muchas más. ¿Quieren ver una prueba muy concluyente?, pues fíjense en
la oreja inferior. Como puede apreciarse, la oreja humana sigue la misma
espiral logarítmica que el nautilus y, esta no es otra cosa que la aplicación
del número de oro.
Para finalizar esta parte
sobre el hombre no debemos olvidarnos de Leonardo DaVinci, todo el mundo
conoce su dibujo denominado Vitrubio en la que aparece un hombre dentro de un
pentágono. Pues bien, la relación entre la altura total del hombre y la
distancia entre el ombligo y la punta de la mano están en esta proporción.; y
ya que hemos hablado de Leonardo, el siguiente apartado tratará del arte.
A lo largo de todo
este extenso texto hemos visto la gran importancia de este rectángulo áureo y su singular número,
sus características y que aparece por todos lados en la naturaleza. La pregunta
es clara: ¿es el número áureo el número de Dios, el número divino? y así ya queda un poco más entendido este tema.
