Actividad 1.1

GEOMETRÍA Y TRIGONOMÉTRIA

Puntos notables de un triangulo

Los puntos notables de un triángulo son:

Circuncentro                                                                                                    Incentro                                                                                                            Baricentro                                                                                                      Ortocentro

Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C.

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluimos:

1.     Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.

2.     El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

 

Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:

1.     Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

2.     El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, actuangulo u obtusángulo, respectivamente.

 

Propiedad 12:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad 13:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista del anterior, se observa que:

GA = 2GA'	(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB'	(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC'	(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

1.     Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.

2.     La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:

1.     Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

2.     Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.

Propiedad 14:

"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Propiedad 15:

El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.

El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.

La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.

Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.

Propiedades de las figuras planas.

El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general, tanto regulares como irregulares, como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial del polígono.

CUADRADO:

Un cuadrado es una poligonal cerrada de cuatro lados y cuatro ángulos iguales. Cualquier polígono de cuatro lados (cuadrilátero) tiene la condición de que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, y cada uno de ellos es un ángulo recto. Como polígono regular se consideran algunas propiedades geométricas de sus líneas y puntos. A continuación vemos lo que es un cuadrado:

TRIANGULO:

Es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos, los cuales sumados da 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, entonces a < b + c, b < a + c, c < a + b. con esto podemos deducir que la diferencia de dos lados es menor que el tercero.

Hay tres clases de triángulos atendiendo a sus lados. Un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, un isósceles tiene dos lados iguales y el tercero desigual, un triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales. En cuanto a los ángulos, un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos, un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) un obtusángulo tiene un ángulo obtuso o sea un ángulo mayor a 90º.

RECTÁNGULO:

Un rectángulo es también una poligonal cerrada. Todos los ángulos interiores de un rectángulo son rectos, pero los lados del rectángulo son iguales paralelamente de a dos, por lo cual podemos decir que un rectángulo es un caso particular de paralelogramo.

ROMBO:

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos. Las rectas que unen cada uno de los vértices con el vértice opuesto se llaman diagonales, la mayor de ellas es la diagonal mayor y la menor es la diagonal menor. Si se cortan las dos diagonales en el rombo se forma un ángulo de 90º.

TRAPECIO:

Es un polígono de cuatro lados dos de sus lados son paralelos, la suma de sus ángulos es de 360º. Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y base menor (B). Un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos son iguales, si esto es así dos de sus ángulos interiores serán agudos y los otros dos obtusos. Un trapecio será rectángulo si uno de los lados que no es paralelo es perpendicular a los paralelos, siendo así tendrá dos ángulos rectos uno obtuso y uno agudo. Como último punto diremos que un trapecio es escaleno si no es rectángulo ni isósceles.

PARALELOGRAMO:

Este un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos y suman los cuatro 360º. Algunos casos particulares de paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que mostramos a continuación es un romboide, el cual es el caso general de paralelogramo.

CIRCULO:

El círculo es una figura plana que está delimitada por la circunferencia. A los efectos geométricos equivale a un polígono regular que tiene infinitos lados. En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos, tales como la circunferencia, el centro que es el punto en el cual equidistan todos los puntos de la circunferencia o el radio, que corresponde a la medida de distancia entre el centro y la circunferencia. También hay otras propiedades tales como el diámetro, la secante, la tangente, el arco la flecha y el sector.

Ensayo de 2400 palabr

Armonía del rectángulo áureo

 Este tema trata sobre la armonía del rectángulo áureo y la creencia.  

 Hay una cosa que los antiguos griegos, los artistas del Renacimiento, un astrónomo del siglo 17 y los arquitectos del siglo 21 tienen en común, todos ellos utilizan  la proporción áurea, también conocida como la razón dorada, proporción divina, o número áureo. Precisamente, este es el número 1.61803399, representado por la letra griega Phi, y considerado verdaderamente único por sus propiedades matemáticas, su pre valencia en toda la naturaleza, y su capacidad para lograr una composición estética perfecta.                                                                                     Los números de Fibonacci y la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas de las plantas, en los caparazones de moluscos, en la forma de ciertas galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito. Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en tales afirmaciones.

La secuencia de Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el público en general por la secuencia de números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}.

Esta secuencia se construye mediante la elección de los dos primeros números (las "semillas" de la secuencia) y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos números anteriores

Por lo tanto hay muchas secuencias diferentes que convergen a Φ. Se les llama "secuencias generalizadas de Fibonacci".

A la relación Φ=1,6180339887... Se llama "proporción áurea". Los rectángulos cuyos lados guardan esta relación se denominan "rectángulos de oro", y ya eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos son la base para generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y mística en este asunto matemático.

Historia 
La proporción áurea o número de oro se estudió desde la antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C.

En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. En e Partenón, Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas (la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor). Platón (428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

La sección áurea se usó mucho en el Renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo. Da Vinci hizo las ilustraciones para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proporcione, quizás la referencia más temprana en la literatura a otro de sus nombres, el de "Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo 

Que se conoce como “espiral de Durero”. Los artistas de Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura y escultura, como en arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo. Leonardo da Vinci, en su cuadro de La Gioconda, utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de cigarrillos.

En la arquitectura moderna sigue usándose; por ejemplo, está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones.

Los sinsentidos sobre Fibonacci

Una búsqueda en internet, o en su biblioteca local lo convencerá de que la serie de Fibonacci ha atraído a más de un lunático que busca el misticismo en los números. Se puede encontrar con afirmaciones fantásticas como estas:

Los "rectángulos de oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre utilizaban marcos rectangulares áureos, pero no lo hacían).

Los modelos basados en los números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más agradables a la percepción humana.

Mozart utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara deliberadamente a Φ en una composición).

La secuencia de Fibonacci se ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores. ¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente) que uno empieza a sospechar que la serie tiene la notable capacidad de "ajustarse" a casi cualquier cosa!

Los procesos de la naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas fuentes dicen que los procesos naturales se "explican" por esta relación.

Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.

La publicidad de la espiral de oro

La "espiral de oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia más grande de curvas espirales, conocidas colectiva mente como espirales logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la naturaleza, como la espiral de Arquímedes.

Esto revela el simple secreto de los espirales en la naturaleza. A menudo es el resultado de un crecimiento con restricciones. A medida que el nautilo crece, el extremo abierto de su caparazón aumenta de diámetro a una velocidad casi constante. Está forzado a curvarse alrededor del caparazón existente. El resultado es una curva en espiral. Uno mismo podría hacer algo así. Tome arcilla de modelado y hágala rodar hasta formar un cono largo y uniformemente. Entonces, comenzando por el extremo puntiagudo, envuelva el cono alrededor de sí mismo.

Esta proporción, como se dijo, se encuentra en la naturaleza de manera natural, gracias a esta proporción el desarrollo de las especies frecuenta, como en las espirales de los girasoles que van hacia un sentido y las que van hacia otro son números de Fibonacci (por lo cual la suma de todas las espirales dará el siguiente número de esta sucesión). Es más interesante saber el porqué de esta no coincidencia, y es porque de esta manera, se aprovecha al máximo el espacio circular del girasol (cuando tengas uno a mano comprueba que no hay huecos, cosa que si qué pasaría si la distribución fuera horizontal).

En las hojas de ciertas plantas, apreciamos también esto, en una hoja de la planta, el número de hojas que hay entre una hoja y otra que este justo perpendicularmente encima de la misma, este número de hojas como el número de vueltas que da al tallo, está en la sucesión de Fibonacci.

En la  antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Platón (circa 428 adC - 347 adC), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.
Hoy en día se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
En la arquitectura moderna sigue usándose, por ejemplo está presente en el conocido edificio de la ONU en Nueva York, el cual no es más que un gran prisma rectangular con una cara que sigue las citadas proporciones.
Existe la relación del número áureo también en el pentáculo, un símbolo pagano más tarde acogido por la iglesia católica para representar a la Virgen María, y también por Leonardo da Vinci para asentar en él al Hombre de Vitrubio.

Este número no es usado como tal, se usa en lo referente a proporción, y esta proporción es la que se encuentra en la serie de Fibonacci (aproximadamente, cuanto más grandes sean lo números más se acercara la proporción a Phi, pero como es un número infinito, nunca dará Phi exactamente).

Usos del número áureo en la actualidad. Estudios muy recientes han demostrado que el ser humano se siente atraído y le resulta más atractivo todo aquello que guarda una relación aurea en su construcción. Los rostros de los hombres y mujeres más deseados son lo que podemos denominar rostros áureos, no olvide el ejemplo de la oreja que puse arriba o las relaciones entre las medidas de los huesos.
Pero fruto de estés estudios son por cortar solo un ejemplo, la forma de los documentos de identidad o de las tarjetas de crédito que todo el mundo emplea. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

El rectángulo áureo
Veamos esta curiosidad. Trazamos un cuadrado de dos por dos unidades (esto es para facilitar el trazado). Unimos un vértice con el centro del lado  (que aquí será de valor uno). Desde ese punto y con la distancia al vértice bajamos el valor y obtenemos un lado ampliado que será la base del rectángulo. Pues la curiosidad es que en ese rectángulo se obtiene los valores del número que tratamos. Observen las figuras inferiores para ver el proceso con mayor claridad.

El número en la naturaleza
Como ya se dijo, este número es de gran importancia. Vistas algunas curiosidades matemáticas vamos a adentrarnos ahora en la naturaleza y comprobaremos que esta lo usa para casi todo. Por ejemplo:

La espiral del nautilus con el cual hemos empezado esta entrada es una espiral logarítmica pero se puede obtener a partir del rectángulo áureo. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilos tal y como hemos comentado.
En las plantas existen muchos casos claramente visibles de lo que estamos diciendo: las relaciones de la disposición de las hojas, los tallos que se enrollan en forma de espiral,  el número de pétalos de muchas flores siguen la sucesión de Fibonacci, que recordemos, están íntimamente ligada al número áureo. Como muestra observen la foto inferior de una planta, se aprecia claramente la espiral

El  número en el hombre
Bueno, ya hemos visto que este número aparece en muchos lugares, pero es que nosotros mismos somos un libro abierto donde se muestra este número por todas partes.

La relación entre las falanges de los dedos es el número

áureo                                         

La relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número                                  

La relación entre toda la pierna y la altura a la rodilla posee esa relación.                                    

 La relación entre todo el brazo y la distancia al codo posee esta relación

Y existen muchas más. ¿Quieren ver una prueba muy concluyente?, pues fíjense en la oreja inferior. Como puede apreciarse, la oreja humana sigue la misma espiral logarítmica que el nautilus y, esta no es otra cosa que la aplicación del número de oro.

Para finalizar esta parte sobre el hombre no debemos olvidarnos  de Leonardo DaVinci, todo el mundo conoce su dibujo denominado Vitrubio en la que aparece un hombre dentro de un pentágono. Pues bien, la relación entre la altura total del hombre y la distancia entre el ombligo y la punta de la mano están en esta proporción.; y ya que hemos hablado de Leonardo, el siguiente apartado tratará del arte.

 A lo largo de todo este extenso texto hemos visto la gran importancia de este rectángulo áureo y su singular número, sus características y que aparece por todos lados en la naturaleza. La pregunta es clara: ¿es el número áureo el número de Dios, el número divino? y así ya queda un poco más entendido este tema.