Vectores

Diferencia entre un escalar y un vector

La diferencia entre el escalar y vectorial es que la escalar es solamente una variable de un número que podemos representar como masa, volumen, etc. y  el vector es el que te indica una dirección y un sentido que es representada por una línea que indica la magnitud y una la flecha la dirección.

Ejemplos de vector

Al andar en un automóvil, las distintas velocidades a las que andamos son distintos vectores, al adelantar otro automóvil, debes hacer mentalmente una resta de vectores, en los cuales los vectores son las velocidades que llevan los automóviles con su correspondiente dirección y sentido.

Al abrir una puerta vemos sumas de vectores, primero para girar la manilla, luego para abrirla.

Cuando caminamos, describimos sumas de vectores en los que los vectores son sumas de distancias con cierta dirección y sentido.

Vector unitario

Conviene usar vectores de longitud unitaria para especificar las direcciones de las cantidades vectoriales en los variados sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas es típico el uso de i, j y k para representar los vectores unidad en las direcciones x, y y z respectivamente. En un eje de coordenadas, abscisa X y ordenada Y, el vector unitario usado en el eje X es denominado î tongo, mientras que el vector unitario construido sobre el eje Y se denomina j tongo. Generalmente se usan para escribir vectores por medio de la expresión analítica. Es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tiene una dirección y un sentido.

Ejercicios de vectores

Ejercicio 3 y 2

ACTIVIDAD CULTURAL

                                   
             

TAEKWONDO 

El taekwondo es un deporte que se lleva a cabo en las instalaciones de UTT (universidad tecnológica de torreón) se destaca por la variedad y espectacularidad de sus técnicas de patadas y, actualmente, es uno de los deportes de combate más conocidos, y el Arte Marcial más popular del planeta.

EJERCICOS 1

EJERCICIOS.

Actividad 1.1

GEOMETRÍA Y TRIGONOMÉTRIA

Puntos notables de un triangulo

Los puntos notables de un triángulo son:

Circuncentro                                                                                                    Incentro                                                                                                            Baricentro                                                                                                      Ortocentro

Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC, por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A, B y C.

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluimos:

1.     Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.

2.     El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

 

Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:

1.     Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

2.     El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, actuangulo u obtusángulo, respectivamente.

 

Propiedad 12:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad 13:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado por A', B', C', los puntos medios de los lados "a "=BC, "b "=AC y "c "=AB, respectivamente, y se ha señalado el punto medio de las distancias del baricentro a cada vértice, mediante un punto negro sin etiquetar.

A la vista del anterior, se observa que:

GA = 2GA'	(la distancia de Baricentro al vértice A es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "a"=BC)
GB = 2GB'	(la distancia de Baricentro al vértice B es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "b"=AC )
GC = 2GC'	(la distancia de Baricentro al vértice C es igual a dos veces la distancia del baricentro al punto medio del lado "c"=AB )

Ortocentro

Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.

Ahora bien, si llamas A , B y C a los puntos medios de los lados B'C', A'C' y A'B' , respectivamente, y consideras el triángulo ABC. Podemos comprobar lo siguiente:

1.     Los lados de los triángulos ABC y A'B'C', son respectivamente paralelos.

2.     La mediatriz del lado A'B' es la perpendicular a A'B' que pasa por su punto medio (C), luego será también perpendicular a AB (por ser paralelo a A'B'). Así pues, considerando el triángulo ABC, dicha recta es perpendicular a AB pasando el vértice C,o lo que es lo mismo, es la altura del triángulo ABC respecto del lado AB.

Análogo razonamiento nos lleva a deducir que la mediatriz del lado A'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado AC. Y, la mediatriz del lado B'C' del triángulo A'B'C', coincide con la altura del triángulo ABC respecto del lado BC.

Las alturas del triángulo ABC, son las mediatrices del A'B'C', y como las mediatrices de cualquier triángulo se cortaban en un único punto, podemos deducir:

1.     Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

2.     Además, el ortocentro de este triángulo coincide con el circuncentro de un triángulo semejante al dado, y que tiene los vértices del primero como puntos medios de sus lados.

Propiedad 14:

"El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto"
"El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Propiedad 15:

El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.

El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.

La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al ortocentro.

Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.

Propiedades de las figuras planas.

El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los polígonos en general, tanto regulares como irregulares, como así también al círculo, que puede ser considerado un caso especial del polígono.

CUADRADO:

Un cuadrado es una poligonal cerrada de cuatro lados y cuatro ángulos iguales. Cualquier polígono de cuatro lados (cuadrilátero) tiene la condición de que sus cuatro ángulos interiores suman 360º, y cada uno de ellos es un ángulo recto. Como polígono regular se consideran algunas propiedades geométricas de sus líneas y puntos. A continuación vemos lo que es un cuadrado:

TRIANGULO:

Es una poligonal cerrada con tres lados y tres ángulos, los cuales sumados da 180º. Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos, entonces a < b + c, b < a + c, c < a + b. con esto podemos deducir que la diferencia de dos lados es menor que el tercero.

Hay tres clases de triángulos atendiendo a sus lados. Un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, un isósceles tiene dos lados iguales y el tercero desigual, un triángulo escaleno tiene los tres lados desiguales. En cuanto a los ángulos, un triángulo acutángulo tiene sus tres ángulos agudos, un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) un obtusángulo tiene un ángulo obtuso o sea un ángulo mayor a 90º.

RECTÁNGULO:

Un rectángulo es también una poligonal cerrada. Todos los ángulos interiores de un rectángulo son rectos, pero los lados del rectángulo son iguales paralelamente de a dos, por lo cual podemos decir que un rectángulo es un caso particular de paralelogramo.

ROMBO:

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos. Las rectas que unen cada uno de los vértices con el vértice opuesto se llaman diagonales, la mayor de ellas es la diagonal mayor y la menor es la diagonal menor. Si se cortan las dos diagonales en el rombo se forma un ángulo de 90º.

TRAPECIO:

Es un polígono de cuatro lados dos de sus lados son paralelos, la suma de sus ángulos es de 360º. Los lados paralelos se llaman base mayor (B) y base menor (B). Un trapecio es isósceles si sus lados no paralelos son iguales, si esto es así dos de sus ángulos interiores serán agudos y los otros dos obtusos. Un trapecio será rectángulo si uno de los lados que no es paralelo es perpendicular a los paralelos, siendo así tendrá dos ángulos rectos uno obtuso y uno agudo. Como último punto diremos que un trapecio es escaleno si no es rectángulo ni isósceles.

PARALELOGRAMO:

Este un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos, también sus ángulos son iguales dos a dos y suman los cuatro 360º. Algunos casos particulares de paralelogramos son el cuadrado, el rectángulo y el rombo. La figura que mostramos a continuación es un romboide, el cual es el caso general de paralelogramo.

CIRCULO:

El círculo es una figura plana que está delimitada por la circunferencia. A los efectos geométricos equivale a un polígono regular que tiene infinitos lados. En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos, tales como la circunferencia, el centro que es el punto en el cual equidistan todos los puntos de la circunferencia o el radio, que corresponde a la medida de distancia entre el centro y la circunferencia. También hay otras propiedades tales como el diámetro, la secante, la tangente, el arco la flecha y el sector.